Условие
Найдите проекцию v=(3,4) на прямую L=span{(1,2)} и расстояние от v до этой прямой.
Решение по шагам
Проекция имеет вид cu, где u=(1,2). Условие ортогональности остатка даёт (v−cu)·u=0, поэтому c=(v·u)/(u·u)=11/5. Проекция равна (11/5,22/5), остаток — (4/5,−2/5). Его длина √(20/25)=2/√5 и есть расстояние.
Для любой другой точки tu разность v−tu раскладывается на ортогональные векторы остатка и (c−t)u. По теореме Пифагора её квадрат длины не меньше квадрата длины остатка.
Проверка результата
Скалярное произведение остатка с u: 4/5−4/5=0. Проекция лежит на L, а сумма проекции и остатка возвращает v.
Типичная ошибка
Делить v·u на длину u вместо её квадрата неверно для коэффициента c. Формула без знаменателя верна лишь для единичного направляющего вектора.
Что даёт этот метод
Проекция — частный случай задачи наименьших квадратов. Условие «остаток ортогонален подпространству» сохраняется в любом конечном измерении.
Дальше по теме
Линейная алгебра: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.