Условие
Найдите определитель матрицы с рядами (1,2,0), (2,5,1), (0,0,6), используя элементарную операцию со строками.
Решение по шагам
Вычтем из второй строки удвоенную первую. Новая вторая строка равна (0,1,1), остальные не меняются. При прибавлении кратной другой строки определитель сохраняется. Получилась верхняя треугольная матрица; её определитель равен произведению диагональных элементов: 1·1·6=6.
Разложение по третьей строке даёт независимый способ: 6 умножается на определитель верхнего левого блока, то есть 6·(1·5−2·2)=6.
Проверка результата
Треугольный способ и разложение по строке дают 6. Ненулевой определитель также подтверждает полный ранг 3.
Типичная ошибка
Перестановка двух строк меняет знак, а умножение строки на число меняет определитель в это число раз. Эти операции нельзя считать сохраняющими определитель.
Что даёт этот метод
При методе Гаусса удобно отдельно учитывать перестановки и масштабы. Операция добавления кратной строки подходит для устранения элементов без поправок.
Дальше по теме
Линейная алгебра: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.