Условие
Примерно 4% коров заражены «коровьим бешенством». Имеется тест, который даёт ошибочный результат с вероятностью 0,1. Судя по тесту, новая партия мяса заражена. Какова вероятность того, что она действительно заражена?
Решение источника
Пусть A — партия мяса заражена, B — по тесту партия заражена. Тогда
P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B) = 0,04 · 0,9 / (0,04 · 0,9 + 0,96 · 0,1) ≈ 0,27.
Редакционное объяснение
Точный ответ: 0,036/(0,036 + 0,096) = 0,036/0,132 = 3/11 ≈ 0,273.
Что заложено в модель. Долю 4% считаем априорной вероятностью того, что случайная партия заражена. Ошибка 0,1 одинакова в обе стороны: заражённую партию тест пропускает с вероятностью 0,1 (чувствительность 0,9), а чистую ошибочно бракует тоже с вероятностью 0,1 (специфичность 0,9).
Та же формула на «натуральных частотах». Представим 1000 партий. Заражённых среди них около 40, тест поймает 36 из них. Чистых 960, и тест ошибочно забракует 96 из них. Всего положительных результатов 36 + 96 = 132, настоящих среди них 36. Доля 36/132 = 3/11. Видно, откуда берётся маленький ответ: чистых партий так много, что даже 10% ложных срабатываний среди них дают больше положительных результатов, чем все заражённые партии вместе.
Повторный тест. Если ошибки двух проверок независимы и вторая проверка тоже положительна, то вероятность заражения становится 0,04 · 0,81 / (0,04 · 0,81 + 0,96 · 0,01) = 27/35 ≈ 0,77. Отрицательный результат одной проверки, наоборот, почти снимает подозрение: P(заражена | тест отрицателен) = 1/217 ≈ 0,005.
Проверка на разумность: апостериорная вероятность 0,27 больше априорной 0,04, то есть положительный тест действительно повышает подозрение — почти в семь раз, — но не превращает его в уверенность. Порог, при котором положительный результат дал бы ровно 1/2, — доля заражённых 10%.
Типичная ошибка — отвечать 0,9, то есть путать P(тест положителен | заражена) с P(заражена | тест положителен).
Что не следует из ответа
Ответ не означает, что тест плохой: при той же точности, но доле заражённых, например, 50% положительный результат был бы верен с вероятностью 0,9. Вероятность 0,27 — следствие редкости заболевания, а не только ошибки теста.
Ответ опирается на предположение, что партия соответствует одной корове или что доля заражённых партий равна 4%. Если в партии мясо многих коров, вероятность того, что в ней есть хотя бы одна больная, будет намного больше 4%, и априорную вероятность нужно пересчитать.
Борис Демешев и участники · probability_pro, задача «Коровье бешенство» · Исходное задание и решение · CC BY 4.0. Адаптация: условие и решение источника сохранены, ответ уточнён до точной дроби 3/11; таблица на 1000 партий, повторный тест и границы модели добавлены редакцией.