Условие
На заводе тортиков очень любят праздники: если хотя бы у одного работника день рождения, на заводе никто не работает — все празднуют. Сколько работников нужно нанять, чтобы среднее количество рабочих человеко-дней в году было максимальным?
Решение источника
Ожидаемое число рабочих человеко-дней равно E(X)=365·n·(364/365)n, где (364/365)n — вероятность того, что конкретный день рабочий. Логарифмируя и используя ln(1+x)≈x, источник получает n*≈365.
Редакционное объяснение
Модель предполагает 365 равновероятных дней рождения, независимых у разных работников. Тогда день рабочий, только если ни у кого из n сотрудников в этот день нет дня рождения, а в рабочий день трудятся все n человек. По аддитивности ожидания E(X)=365·n·qn, где q=364/365.
В источнике в строке с приближением пропущен знак: должно быть ln E(X)=ln 365+ln n+n·ln q≈ln 365+ln n−n/365. Производная 1/n+ln q равна нулю при n=−1/ln q=1/ln(365/364)≈364,5.
Число работников целое, поэтому удобнее сравнить соседние значения напрямую: E(n+1)/E(n)=(n+1)/n·364/365. Отношение больше 1 при n<364, равно 1 при n=364 и меньше 1 при n>364. Значит, n=364 и n=365 дают одинаковый максимум — около 48 943,5 рабочих человеко-дней в год. Ответ источника n=365 верен, но не единственен.
При оптимуме рабочим остаётся лишь около 36,7% дней года (q365≈e−1), то есть каждый работник в среднем трудится примерно 134 дня.
Что не следует из ответа
Ответ зависит от упрощений: не учтены високосные годы, неравномерность дней рождения по году, выходные и то, что празднование может совпадать с нерабочими днями. Максимизируется именно среднее число человеко-дней, а не, например, вероятность того, что завод проработает хотя бы заданное число дней.
Борис Демешев и участники · probability_dna, задача «Завод тортиков» · Исходное задание и решение · CC BY 4.0. Адаптация: формулировка сокращена, опечатка в логарифмировании исправлена, добавлена точная дискретная проверка.