Условие
Решите задачу y′(t)=−2y(t), y(0)=3. Укажите поведение решения при t→+∞.
Решение по шагам
Для ненулевого решения разделяем переменные: dy/y=−2dt. Интегрирование даёт ln|y|=−2t+C, откуда y=Ce⁻²ᵗ после переобозначения константы. Начальное условие требует C=3. Поэтому y(t)=3e⁻²ᵗ и решение стремится к нулю при t→+∞.
При разделении переменных деление на y исключило нулевое решение. Оно также удовлетворяет уравнению, но не подходит условию y(0)=3.
Проверка результата
Производная 3e⁻²ᵗ равна −6e⁻²ᵗ=−2y; при t=0 значение равно 3. Обе части задачи проверяются непосредственно.
Типичная ошибка
Константу интегрирования нельзя отбросить до применения начального условия. Деление на переменную может потерять отдельные решения.
Что даёт этот метод
В линейной модели y′=ky знак k задаёт рост или затухание. Это математическая модель, а не универсальное описание любого физического процесса.
Дальше по теме
Математический анализ: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.