Условие
Приблизьте ∫₀¹x²dx составной формулой трапеций с четырьмя равными интервалами. Оцените ошибку.
Решение по шагам
Шаг h=1/4. Значения функции: 0,1/16,1/4,9/16,1. Формула с половинными весами концов даёт T=h(0/2+1/16+1/4+9/16+1/2)=11/32=0,34375.
Точный интеграл равен 1/3, поэтому ошибка T−I=1/96. Общая оценка |T−I|≤(b−a)h²M₂/12 при M₂=max|f″| даёт 1·(1/16)·2/12=1/96. Здесь граница достигается, поскольку вторая производная постоянна.
Проверка результата
Разность 11/32−1/3 точно равна 1/96. Положительный знак согласуется с выпуклостью x²: хорды лежат выше графика.
Типичная ошибка
Концы должны иметь половинные веса. Простая сумма пяти значений, умноженная на h, не является составной формулой трапеций.
Что даёт этот метод
При ограниченной второй производной ошибка убывает пропорционально h². Удвоение числа интервалов уменьшает эту границу в четыре раза.
Дальше по теме
Математический анализ: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.