Условие
Найдите область сходимости ряда Σ от n=1 до ∞ xⁿ/n.
Решение по шагам
Отношение модулей соседних членов равно |x|·n/(n+1) и стремится к |x|. Поэтому ряд абсолютно сходится при |x|<1 и расходится при |x|>1. Радиус сходимости R=1.
Концы проверяем отдельно. При x=1 получается гармонический ряд, который расходится. При x=−1 — знакочередующийся ряд Σ(−1)ⁿ/n; он сходится по признаку Лейбница, но не абсолютно. Итоговая область: [−1,1).
Проверка результата
При x=0 все члены нулевые. На правом конце используется известная расходимость гармонического ряда, на левом — убывание 1/n к нулю.
Типичная ошибка
Признак отношения при пределе 1 ничего не решает. Нельзя автоматически включить или исключить оба конца радиуса.
Что даёт этот метод
Радиус определяет открытый интервал абсолютной сходимости. Поведение каждой граничной точки зависит от конкретных коэффициентов ряда.
Дальше по теме
Математический анализ: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.