Условие
Найдите площадь ограниченной области между графиками y=x² и y=2x.
Решение по шагам
Пересечения определяются x²=2x, то есть x=0 и x=2. Внутри интервала 0<x<2 выражение 2x−x² положительно, поэтому прямая находится выше параболы. Площадь равна ∫₀²(2x−x²)dx=[x²−x³/3]₀²=4/3.
Интегранд — вертикальная длина сечения области. Его знак проверяется до интегрирования, чтобы площадь получилась неотрицательной.
Проверка результата
Замена x=1+t даёт 2x−x²=1−t² и ∫₋₁¹(1−t²)dt=2−2/3=4/3. Второй расчёт подтверждает ответ.
Типичная ошибка
Вычитание нижнего графика из верхнего нельзя заменять произвольным порядком. При смене порядка графиков внутри области интеграл нужно разбить.
Что даёт этот метод
Площадь между кривыми выражается интегралом абсолютной разности, либо несколькими интегралами «верхняя минус нижняя» на подходящих промежутках.
Дальше по теме
Математический анализ: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.