Условие
Найдите минимум и максимум f(x)=x³−3x на отрезке [−2,2] и все точки их достижения.
Решение по шагам
Производная f′=3(x²−1) обнуляется в x=−1 и x=1. На замкнутом отрезке нужно проверить эти точки и оба конца. Значения: f(−2)=−2, f(−1)=2, f(1)=−2, f(2)=2.
Минимум −2 достигается при x=−2 и x=1; максимум 2 — при x=−1 и x=2. Непрерывность на компактном отрезке гарантирует достижение обоих экстремумов.
Проверка результата
Знак производной показывает возрастание на [−2,−1], убывание на [−1,1] и возрастание на [1,2]. Это исключает дополнительные точки достижения.
Типичная ошибка
Поиск только нулей производной пропускает концы. Проверка только концов пропускает внутренние экстремумы.
Что даёт этот метод
Для непрерывной функции, дифференцируемой внутри отрезка, проверяют концы и внутренние критические точки, включая точки отсутствия производной.
Дальше по теме
Математический анализ: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.