Условие
Вычислите предел (√(1+x)−1)/x при x→0.
Решение по шагам
Умножим числитель и знаменатель на √(1+x)+1. Произведение в числителе равно (1+x)−1=x. При x≠0 получаем 1/(√(1+x)+1), которое стремится к 1/2.
Корень определён при x≥−1; около нуля доступны обе стороны. Преобразование не меняет значения для ненулевых x, а знаменатель новой дроби не обращается в ноль.
Проверка результата
Символьное вычисление предела даёт 1/2. При x=0,01 новая дробь близка к 0,49876; при x=−0,01 — к 0,50126.
Типичная ошибка
Равенство 0/0 не является ответом и не позволяет делить ноль на ноль. Это сигнал, что прямой подстановки недостаточно.
Что даёт этот метод
Сопряжённое выражение полезно, когда разность корней создаёт неопределённость. Оно также уменьшает потерю точности при вычислении разности близких чисел.
Дальше по теме
Математический анализ: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.