Условие
События A и B несовместны, то есть не могут произойти одновременно. Известны вероятности P(A) = 0,3 и P(B) = 0,4. Найдите P(Ac ∩ Bc) — вероятность того, что не произойдёт ни A, ни B.
Решение источника
Несовместные события не могут произойти одновременно, поэтому P(A ∪ B) = P(A) + P(B). По закону де Моргана
P(Ac ∩ Bc) = P((A ∪ B)c) = 1 − P(A ∪ B) = 1 − P(A) − P(B) = 1 − 0,7 = 0,3.
Редакционное объяснение
В источнике несовместность записана как «P(A ∩ B) = ∅». Это смешение уровней: пустым множеством является само событие, A ∩ B = ∅, а его вероятность равна числу 0. Правильно: A ∩ B = ∅, поэтому P(A ∩ B) = 0 и P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0,7.
Закон де Моргана говорит, что «не A и не B» — это то же самое, что «неверно, что A или B». Поэтому вероятность того, что не случится ни одно из событий, равна единице минус вероятность того, что случится хотя бы одно.
Проверка через разбиение: пространство исходов делится на три непересекающиеся части — A, B и «ни то, ни другое». Их вероятности 0,3, 0,4 и 0,3 в сумме дают 1.
Полезное сравнение. Если бы A и B были не несовместными, а независимыми, ответ был бы другим: P(Ac ∩ Bc) = P(Ac) · P(Bc) = 0,7 · 0,6 = 0,42. Несовместность и независимость — разные свойства; более того, два несовместных события с положительными вероятностями всегда зависимы: если произошло A, то B уже точно не произошло.
Типичная ошибка — перемножать вероятности дополнений «по привычке» и получать 0,42, не проверив, что события независимы.
Что не следует из ответа
Без условия несовместности задача не имеет единственного ответа. При P(A) = 0,3 и P(B) = 0,4 вероятность P(Ac ∩ Bc) = 1 − P(A ∪ B) может быть любой от 0,3 (события не пересекаются) до 0,6 (A целиком лежит внутри B). Ответ 0,3 — нижняя граница этого диапазона, и достигается она именно при несовместных событиях.
Борис Демешев и участники · probability_pro, задача «Несовместные события» · Исходное задание и решение · CC BY 4.0. Адаптация: условие и решение источника сохранены, в решении исправлена запись P(A ∩ B) = ∅; сравнение с независимыми событиями и общие границы добавлены редакцией.