Когда нижний порог a повышается, меняются только значения X, лежащие ниже него. Поэтому скорость изменения среднего связана с вероятностью оказаться под порогом.
d/da E[max(X,a)]=F_X(a)
Условие и конечность среднего
Пусть Ya = max(X, a): все значения X ниже a заменены на a, остальные сохранены. Найдите производную E(Ya) по a и уточните необходимые предпосылки.
Достаточно предположить конечность E(X⁺), где X⁺ = max(X, 0). Тогда при любом конечном a среднее Ya существует и конечно: отрицательная часть ограничена порогом.
Расчёт при наличии плотности
Если X имеет плотность f и функцию распределения F, можно записать:
E(Ya) = aF(a) + ∫a∞ t f(t) dt.
При достаточной локальной регулярности для обычного дифференцирования производная равна F(a) + af(a) − af(a), поэтому:
dE[max(X, a)]/da = F(a).
Два члена af(a) компенсируются: при изменении порога часть массы переходит между двумя слагаемыми представления среднего.
Какое ограничение источника лишнее
В исходном решении появляется дополнительный член limt→∞ tf(t), а затем предполагается его равенство нулю. Для дифференцирования по нижнему пределу a такого члена нет: верхний предел не зависит от a.
Поэтому требование tf(t) → 0 не является необходимым для этого результата. Ниже приведено более общее доказательство, которое вообще не использует плотность. Это редакционное исправление обоснования, а не изменение правильного ответа F(a).
Доказательство через разностное отношение
Для каждого фиксированного X функция max(X, a) имеет правую производную 1, если X ≤ a, и 0 иначе. Левая производная равна индикатору X < a. Разностные отношения по a лежат между 0 и 1, поэтому предел можно перенести под математическое ожидание по теореме об ограниченной сходимости.
Отсюда в общем случае:
правая производная = P(X ≤ a);
левая производная = P(X < a).
Если P(X = a) = 0, они совпадают и обычная производная равна F(a). Если в точке a есть атом, у функции среднего возникает излом величины P(X = a).
Проверка на равномерном распределении
Для X, равномерной на [0; 1], при 0 < a < 1 среднее равно a² + ∫a¹ x dx = (1 + a²)/2. Его производная a совпадает с F(a). Ни на каком шаге не потребовалось ограничение на хвост tf(t).
Распределения с атомом и непрерывной частью · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 9.17 · CC BY 4.0. Адаптация; обоснование исправлено и обобщено.