Сто одинаково распределённых величин с фиксированной суммой и суммой квадратов

Условие

Придумайте способ получить 100 одинаково распределённых случайных величин Xᵢ с суммой 50. Будут ли они зависимы? Измените конструкцию так, чтобы для новых величин Yᵢ сумма квадратов равнялась 50, и исследуйте независимость.

В источнике решения нет. Следующие конструкции и объяснения добавлены редакцией.

Пятьдесят дополнительных пар

Возьмём независимые U₁,…,U₅₀, равномерные на [0; 1]. Для каждой пары зададим X₂ₖ₋₁ = Uₖ, X₂ₖ = 1 − Uₖ. Оба элемента каждой пары равномерны на том же отрезке; следовательно, все сто величин одинаково распределены.

Сумма внутри пары всегда равна 1, а сумма пятидесяти пар — 50. Внутри пары зависимость полная: второй элемент определяется первым. Разные пары независимы по построению.

Фиксированная сумма квадратов

Положим Yᵢ = √Xᵢ. Тогда сумма Yᵢ² равна сумме Xᵢ, то есть 50. Все Yᵢ имеют функцию распределения F(y) = y² на [0; 1], а внутри каждой пары сохраняется зависимость: Y₂ₖ = √(1 − Y₂ₖ₋₁²).

Зависимость не следует из суммы квадратов автоматически

Есть и другой ответ: пусть Y₁,…,Y₁₀₀ независимо принимают значения ±1/√2 с равными вероятностями. Каждый квадрат равен 1/2, поэтому их сумма равна 50, хотя сами Yᵢ независимы и непостоянны.

Для обычной суммы независимых величин с конечными дисперсиями ситуация другая. Нулевая дисперсия суммы равна сумме отдельных дисперсий; значит, каждая должна быть нулевой. Постоянные Xᵢ = 1/2 действительно независимы в формальном смысле, но не дают невырожденного случайного примера.

Ответ

Конструкция через U и 1 − U решает оба задания и даёт зависимые пары. Однако фиксированная сумма квадратов допускает также независимые случайные знаки. Нужно исследовать конкретную конструкцию, а не объявлять зависимость по одному ограничению.

Математика и статистика.

Б. Демешев и участники · statistics_pro, 2.2 · CC0 1.0. Условие источника; конструкции редакции.