С возвращением: P(упорядоченной тройки)=1/4³; без возвращения: 1/(4·3·2)
Условие
Из набора {2, 4, 10, 14} трижды последовательно выбирают число равновероятно с возможностью повторения. X₁, X₂ и X₃ — результаты. Требуется найти отдельные и совместные распределения, проверить независимость и одинаковую распределённость, сравнить ожидания, дисперсии и ковариации. Затем повторить анализ для выбора без возвращения.
В источнике решение не заполнено; ниже дан редакционный расчёт. При выборе с возвращением используем независимые случайные выборы.
Отдельное распределение
Для каждой позиции вероятность любого из четырёх значений равна 1/4. Поэтому E(Xᵢ) = (2 + 4 + 10 + 14)/4 = 15/2.
Второй момент равен (4 + 16 + 100 + 196)/4 = 79. Следовательно, Var(Xᵢ) = 79 − (15/2)² = 91/4.
Совместные распределения с возвращением
У пары (X₁, X₂) все 16 упорядоченных пар из {2, 4, 10, 14}² имеют вероятность 1/16, включая пары одинаковых чисел. Таблица для (X₁, X₃) точно такая же.
Все три величины независимы и одинаково распределены. Их ожидания и дисперсии совпадают, а Cov(X₁, X₂) = Cov(X₁, X₃) = 0.
Что меняется без возвращения
Отдельное распределение каждой позиции остаётся равномерным по исходным четырём числам. Поэтому найденные ожидание 15/2 и дисперсия 91/4 не меняются.
Однако совместная таблица теперь имеет нули на диагонали: повтор одного числа невозможен. Каждая из 12 упорядоченных пар различных значений имеет вероятность 1/12. Это верно и для (X₁, X₂), и для (X₁, X₃).
Зависимость и ковариация
При известном первом результате x сумма оставшихся чисел равна 30 − x. Поэтому E(X₂ | X₁ = x) = (30 − x)/3. Чем больше первый результат, тем меньше средний результат следующего выбора.
Отсюда Cov(X₁, X₂) = −Var(X₁)/3 = −91/12. По симметрии позиций Cov(X₁, X₃) равна тому же числу.
Величины остаются одинаково распределёнными, но перестают быть независимыми. Равенство отдельных таблиц не определяет совместное распределение; в двух схемах одинаковые маргинальные характеристики сочетаются с разными связями между наблюдениями.
Б. Демешев и участники · statistics_pro, 1.10 · CC0 1.0. Условие сохранено; решение редакции.