Условие
Для пар (1,2), (2,1), (3,4) найдите выборочную ковариацию с делителем n−1 и коэффициент корреляции Пирсона.
Решение по шагам
Средние x̄=2, ȳ=7/3. Сумма произведений отклонений равна (−1)(−1/3)+0(−4/3)+1(5/3)=2. Деление на n−1=2 даёт ковариацию 1.
Выборочные дисперсии равны sₓ²=1 и sᵧ²=7/3. Поэтому r=sₓᵧ/(sₓsᵧ)=√(3/7)≈0,65465. Нормировка делает корреляцию безразмерной, в отличие от ковариации.
Проверка результата
Вычисление через сырые суммы Σxy−n x̄ȳ также даёт числитель 2. Полученная корреляция лежит в диапазоне [−1,1].
Типичная ошибка
Ковариация 1 не означает корреляцию 1. Для корреляции нужно разделить на оба стандартных отклонения. При нулевом разбросе одной переменной коэффициент не определён.
Что даёт этот метод
Корреляция описывает линейную связь и сама по себе не устанавливает причинность. Малый размер выборки также ограничивает статистические выводы.
Дальше по теме
Математическая статистика: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.