Симметрия относительно обеих осей обнуляет смешанный момент координат. Но отверстие в центре кольца связывает их возможные значения и не позволяет считать координаты независимыми.
по симметрии E[XY]=0 и E[X]=E[Y]=0 ⇒ Cov(X,Y)=0
Условие
Точку равномерно по площади выбирают в кольце 1 ≤ x² + y² ≤ 4. X и Y — координаты точки. Найдите Corr(X, Y) и проверьте независимость.
Площадь кольца равна 3π. Совместная плотность равна 1/(3π) внутри кольца и нулю вне его.
Симметрия моментов
Отражение (x, y) в (−x, y) сохраняет распределение. Поэтому E(X) = 0 и E(XY) = 0: соответствующие подынтегральные функции меняют знак. Аналогично E(Y) = 0.
Следовательно, Cov(X, Y) = 0. Обе координаты непостоянны и ограничены, поэтому их дисперсии положительны и конечны. Значит, Corr(X, Y) = 0.
Проверка дисперсий
Дополнение к исходному ответу: радиус R имеет плотность 2r/3 на [1; 2], поскольку площадь тонкого кольца пропорциональна радиусу. Поэтому E(R²) = (2/3)∫₁² r³ dr = 5/2.
Из равенства X² + Y² = R² и симметрии координат получаем Var(X) = Var(Y) = 5/4. Это подтверждает, что знаменатель корреляции не нулевой.
Доказательство зависимости без условия нулевой вероятности
Рассмотрим A = {|X| < 1/2} и B = {|Y| < 1/2}. Каждое событие имеет положительную вероятность: соответствующая полоса пересекает кольцо по области положительной площади.
Но одновременно они произойти не могут. При них X² + Y² < 1/2, тогда как на кольце эта сумма не меньше 1. Поэтому:
P(A ∩ B) = 0 < P(A)P(B).
Следовательно, X и Y зависимы. Это тот же геометрический смысл, что и в подсказке источника, но записанный через события положительной вероятности.
Почему прямоугольный диапазон координат обманчив
Отдельно каждая координата может принимать значения от −2 до 2. Однако далеко не вся пара из квадрата [−2; 2]² допустима. Совместный носитель содержит отверстие и круговую внешнюю границу. Одного знания отдельных диапазонов недостаточно для вывода о независимости.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 16.22 · CC BY 4.0. Адаптация; доказательство и проверка моментов дополнены.