Сумма и разность двух одинаково распределённых бросков некоррелированы. Но это не делает их независимыми: небольшая сумма резко ограничивает возможную разность.
Cov(S,D)=Var(X)−Var(Y)=0
Условие
Правильный кубик независимо бросают два раза. Пусть S = X₁ + X₂, R = X₁ − X₂. Найдите E(SR), Cov(S, R) и Corr(S, R).
У одного броска E(Xᵢ) = 7/2 и Var(Xᵢ) = 35/12. Следовательно, E(S) = 7, E(R) = 0, а Var(S) = Var(R) = 35/6.
Ожидание произведения
Умножим сумму на разность:
SR = (X₁ + X₂)(X₁ − X₂) = X₁² − X₂².
Вторые моменты бросков одинаковы, поэтому E(SR) = 0. Для этого равенства достаточно одинаковых конечных вторых моментов; независимость не требуется.
Ковариация и корреляция
По определению Cov(S, R) = E(SR) − E(S)E(R). Оба слагаемых здесь нулевые, значит:
Cov(S, R) = 0; Corr(S, R) = 0.
Корреляция определена, поскольку обе дисперсии положительны. Другой вывод использует билинейность ковариации: Cov(X₁ + X₂, X₁ − X₂) = Var(X₁) − Var(X₂), так как смешанные ковариации взаимно сокращаются.
Почему независимости нет
Если S = 2, единственная возможная пара бросков — (1, 1), поэтому R = 0 обязательно. Но без условия вероятность R = 0 равна 6/36 = 1/6:
P(R = 0 | S = 2) = 1 ≠ P(R = 0).
Это прямое доказательство зависимости. Кроме того, S и R всегда имеют одинаковую чётность, потому что S + R = 2X₁ и S − R = 2X₂.
Что именно измерила корреляция
Нулевой результат говорит об отсутствии линейной связи в смысле ковариации. Он не исключает ограничений на совместные значения или изменения условного распределения. В данном примере множество допустимых пар (S, R) существенно меньше произведения двух отдельных носителей.
Ковариация и корреляция совпадают с ответом источника. E(SR), численные дисперсии и проверка зависимости добавлены редакцией.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 16.2 · CC BY 4.0. Адаптация; расчёт и контрпример дополнены.