E[X₁]=E[X₆]=50/3; Var=125/9; Cov(X₁,X₆)=−25/9; Corr=−1/5
Условие и принятая модель
Кубик бросают 100 раз. Xᵢ — число выпадений грани i. Найдите распределения X₁ и X₆, ожидание и дисперсию X₁, ковариации X₁ с суммой всех шести счётчиков и с X₆, а также корреляцию X₁ и X₆.
В исходном условии вероятности граней не уточнены, а решение отсутствует. Для численных ответов далее явно принимается стандартная учебная модель: правильный кубик и независимые броски. Вывод редакционный.
Отдельные распределения
В каждом броске единица появляется с вероятностью 1/6. Поэтому X₁ ∼ Bin(100, 1/6). Для шестёрок действует тот же расчёт: X₆ имеет такое же распределение.
E(X₁) = 100/6 = 50/3;
Var(X₁) = 100 · (1/6)(5/6) = 125/9.
Сумма счётчиков постоянна
После 100 бросков всегда X₁ + X₂ + X₃ + X₄ + X₅ + X₆ = 100. Поэтому ковариация X₁ с этой суммой равна 0.
Все пять ковариаций X₁ с другими счётчиками одинаковы по симметрии граней. Если каждую обозначить c, получаем 0 = Var(X₁) + 5c. Следовательно:
Cov(X₁, X₆) = −25/9.
Корреляция
Дисперсии X₁ и X₆ одинаковы и положительны, поэтому Corr(X₁, X₆) = (−25/9)/(125/9) = −1/5.
Отрицательная связь возникает из-за фиксированного общего числа бросков: место, занятое единицей, уже не может быть занято шестёркой. При этом корреляция не равна −1, поскольку остаются ещё четыре возможные грани.
Независимость и одинаковая распределённость
Одинаковое распределение X₁ и X₆ доказано, но независимости нет. Например, при X₁ = 100 число шестёрок обязательно равно нулю, тогда как без условия оно может быть положительным.
Вектор всех шести счётчиков имеет мультиномиальное распределение. Его отдельные компоненты биномиальны, но совместно связаны ограничением на сумму. Независимость самих бросков не означает независимости количества разных исходов в одной и той же серии.
Б. Демешев и участники · statistics_pro, 1.12 · CC0 1.0. Условие источника; модель и решение указаны явно.