Условие
Для выборки 1,2,2,4 найдите Fₙ(2), левый предел Fₙ(2−) и полный вид эмпирической функции.
Решение по шагам
Определение Fₙ(t) — доля наблюдений не больше t. Поэтому при t<1 значение 0; при 1≤t<2 — 1/4; при 2≤t<4 — 3/4; при t≥4 — 1. В точке 2 два совпавших наблюдения дают скачок размером 2/4=1/2.
Значение Fₙ(2)=3/4 включает обе двойки, а левый предел Fₙ(2−)=1/4 не включает их. Функция правосторонне непрерывна.
Проверка результата
Размеры скачков 1/4,1/2,1/4 складываются в 1. Прямой подсчёт индикаторов 1{xᵢ≤t} подтверждает каждую ступень.
Типичная ошибка
Строгое сравнение xᵢ<t вместо ≤ изменяет значение в точках наблюдений. Нужно соблюдать выбранное определение.
Что даёт этот метод
Эмпирическая функция хранит распределение конечной выборки вместе с кратностями. Её скачки удобны для квантилей и непараметрических процедур.
Дальше по теме
Математическая статистика: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.