Условие
T имеет экспоненциальное распределение с интенсивностью λ=1/3. Найдите P(T>7|T>4) и среднее остаточное время после условия T>4.
Решение по шагам
Хвост распределения равен P(T>t)=e⁻ᵗ⁄³ при t≥0. Условная вероятность — отношение хвостов: e⁻⁷⁄³/e⁻⁴⁄³=e⁻¹≈0,36788.
Вообще P(T−4>s|T>4)=e⁻ˢ⁄³. Остаток после четырёх единиц имеет то же распределение, что исходное время, и среднее 1/λ=3. Полное условное время E(T|T>4) равно 4+3=7.
Проверка результата
Интеграл хвоста остаточного времени ∫₀∞e⁻ˢ⁄³ds равен 3. Отношение исходных хвостов подтверждает частный результат.
Типичная ошибка
Среднее остатка 3 и среднее полного времени 7 — разные показатели. Отсутствие памяти не является общим свойством всех времен ожидания.
Что даёт этот метод
Экспоненциальное отсутствие памяти связано с постоянной интенсивностью. При возрастном износе или изменении нагрузки его предпосылки нужно пересматривать.
Дальше по теме
Теория вероятностей: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.