Условие
Найдите производную f(x)=(3x²+1)⁵ и её значение при x=1.
Решение по шагам
Внешняя функция — пятая степень, внутренняя — u(x)=3x²+1. Производная внешней по u равна 5u⁴, производная внутренней по x — 6x. Перемножаем: f′(x)=30x(3x²+1)⁴. При x=1 получаем 30·4⁴=7680.
Разложение на функции позволяет не раскрывать многочлен десятой степени. Множитель 6x отражает скорость изменения аргумента внешней функции.
Проверка результата
Символьное раскрытие f в многочлен и почленное дифференцирование дают то же выражение. В точке 0 производная равна 0, что согласуется с чётностью f.
Типичная ошибка
Ответ 5(3x²+1)⁴ забывает производную внутреннего выражения. Правило степени применяется к аргументу u, а затем нужно перейти к x.
Что даёт этот метод
Для композиции F(u(x)) производная равна F′(u(x))u′(x). При нескольких вложенных функциях правило применяют последовательно.
Дальше по теме
Математический анализ: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.