Условие
Запишите матрицу отражения относительно прямой y=x. Найдите образ (2,−3) и проверьте сохранение длины.
Решение по шагам
Отражение меняет координаты местами: (x,y)↦(y,x). Образы базисных векторов e₁,e₂ равны e₂,e₁, значит матрица имеет ряды (0,1), (1,0). Образ заданного вектора — (−3,2).
Матрица удовлетворяет RᵀR=I и потому сохраняет скалярные произведения и длины. При этом det(R)=−1: отражение меняет ориентацию. Двойное отражение возвращает исходный вектор, R²=I.
Проверка результата
Квадрат длины исходного и преобразованного векторов равен 2²+(−3)²=13. Векторы на y=x остаются на месте, на перпендикулярной прямой y=−x меняют знак.
Типичная ошибка
Ортогональная матрица не обязана быть поворотом. Определитель −1 отличает отражения от плоских поворотов с определителем +1.
Что даёт этот метод
Матрицу любого линейного преобразования удобно строить по образам базиса. Ортогональность проверяется равенством RᵀR=I.
Дальше по теме
Линейная алгебра: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.