Задача
Xᵢ iid Poisson(λ). Prior λ∼Gamma(shape=2, rate=1). В пяти наблюдениях суммарно 12 событий. Найдите posterior и прогноз среднего λ.
Правдоподобие
По λ: L∝λ^{12}e^{-5λ}.
Prior
Gamma(2,1) имеет ядро λ^{2−1}e^{-λ}.
Posterior
Перемножая:
λ|data∼Gamma(shape=14, rate=6).
Posterior mean
E(λ|data)=14/6=7/3≈2,3333.
Posterior mode=(14−1)/6=13/6≈2,1667.
Предиктивное ожидание
Для следующего Poisson-наблюдения E(X_new|data)=E(λ|data)=7/3. Полное предиктивное распределение после интегрирования λ является отрицательно биномиальным.
Редакционная практика по сопряжённым моделям statistics_pro · CC0 1.0.