Задача
Рассмотрите dX_t=κ(θ−X_t)dt+σdW_t, κ>0. Найдите условное среднее и дисперсию.
Решение линейного SDE
Умножение на integrating factor e^{κt} даёт
X_t=θ+(X₀−θ)e^{-κt}+σ∫₀ᵗe^{-κ(t-s)}dW_s.
Среднее
E(X_t|X₀)=θ+(X₀−θ)e^{-κt}. Отклонение от долгосрочного уровня θ затухает экспоненциально.
Дисперсия
По изометрии Ито
Var(X_t|X₀)=σ²[1−e^{-2κt}]/(2κ).
При t→∞ получаем стационарную дисперсию σ²/(2κ).
Стационарный закон
Если X₀ сразу распределён N(θ,σ²/(2κ)) и согласован с процессом, все маргинальные распределения одинаковы, а autocorrelation равна e^{-κ|h|}.
Редакционная экзаменационная практика по mean-reverting SDE из tssp_exams · CC0 1.0.