Экзаменационная задача
y_t=2+0,8y_{t−1}+u_t, где u_t — белый шум с дисперсией 9. Предполагая стационарность, найдите E(y_t), Var(y_t), ACF и прогноз y_{101} при y_{100}=12.
Среднее
μ=2+0,8μ, поэтому μ=10.
Дисперсия
После центрирования x_t=0,8x_{t−1}+u_t. Следовательно, γ0=0,8²γ0+9, откуда γ0=9/(1−0,64)=25.
ACF
ρ_k=0,8^{|k|}. Корреляция убывает геометрически и остаётся положительной.
Прогноз
E(y_{101}|y_{100})=2+0,8·12=11,6. На h шагов прогноз равен μ+0,8^h(y_t−μ).
Проверка стационарности
|0,8|<1, поэтому причинное стационарное решение существует. При |φ|≥1 приведённые безусловные моменты уже не описывают стационарный AR(1).
Редакционная экзаменационная практика по тематике открытого архива tssp_exams · CC0 1.0.