Задача
Решите SDE dX_t=μX_tdt+σX_tdW_t, X₀>0.
Логарифм
Применим Ито к lnX:
d lnX_t=(μ−σ²/2)dt+σdW_t.
Интегрирование
lnX_t−lnX₀=(μ−σ²/2)t+σW_t. Поэтому
X_t=X₀ exp[(μ−σ²/2)t+σW_t].
Распределение и среднее
lnX_t нормально с дисперсией σ²t, поэтому X_t логнормальна. Используя E[e^{σW_t}]=e^{σ²t/2}, получаем
E(X_t)=X₀e^{μt}.
Зачем нужен −σ²/2
Это Ito correction. Без него математическое ожидание ошибочно получило бы дополнительный множитель e^{σ²t/2}.
Редакционная практика по SDE из tssp_exams · CC0 1.0.