Задача
Для стандартного броуновского движения найдите совместный закон (W₁,W₂,W₄).
Средние
Все компоненты имеют нулевое ожидание.
Ковариации
Cov(W_s,W_t)=min(s,t). Поэтому
Σ=[[1,1,1],[1,2,2],[1,2,4]].
Совместный закон
(W₁,W₂,W₄)ᵀ∼N₃(0,Σ).
Проверка через независимые приращения
Запишите W₂=W₁+(W₂−W₁), W₄=W₂+(W₄−W₂). Три приращения на [0,1],[1,2],[2,4] независимы с дисперсиями 1,1,2. Из этой декомпозиции восстанавливаются все элементы Σ.
Совместная нормальность существенна для последующего вычисления условных распределений линейными формулами.
Редакционная экзаменационная практика по Brownian motion из tssp_exams · CC0 1.0.