Плотность 2x/θ² на [0,θ]: максимум выборки и метод моментов

Условие

Плотность X равна 2x/θ² на [0,θ]. Найдите ММП для наблюдений 2 и 7, общую ММП, проверьте регулярность и постройте оценку метода моментов.

Ответ источника

Ключ отмечает нарушение регулярности: носитель зависит от θ. Формулы оценок ниже развёрнуты редакцией.

Максимальное правдоподобие

Правдоподобие пропорционально θ^{-2n}∏xᵢ при θ≥M=maxXᵢ и равно нулю иначе. На допустимой области θ^{-2n} строго убывает, поэтому θ̂_ML=M. Для 2 и 7 получаем θ̂_ML=7.

Метод моментов

E(X)=∫₀^θ 2x²/θ² dx=2θ/3. Отсюда θ̂_MM=3X̄/2.

Точный закон максимума

F_X(x)=(x/θ)² на [0,θ], поэтому F_M(m)=(m/θ)^{2n}. Следовательно, E(M)=2nθ/(2n+1): ММП смещена вниз при конечном n, хотя M→pθ.

Носитель зависит от параметра, поэтому обычные регулярные формулы Fisher-информации нельзя применять автоматически. Порядковая статистика несёт прямую информацию о границе распределения.

statistics_pro 5.17 · CC0 1.0 · регулярность из ключа; оценки дополнены.