Преобразование доли может создавать особенности на концах диапазона. Даже при хорошем центральном нормальном приближении нужно отдельно проверить, определена ли функция при нуле и единице.
Var(g(p̂))≈[g′(p)]²p(1−p)/n
Условие
X имеет распределение Bin(n, p), n велико. Найдите приближённые распределения ln(X/n) и X/(n − X). Рассматриваем фиксированное 0 < p < 1 при n → ∞. В исходном сборнике решение не заполнено; ниже — редакционный расчёт.
Обозначим выборочную долю p̂ = X/n. Тогда √n(p̂ − p) → N(0, p(1 − p)).
Логарифм доли
Для g(u) = ln u производная в p равна 1/p. По дельта-методу:
√n[ln p̂ − ln p] → N(0, (1 − p)/p).
Соответствующее нормальное приближение внутренних значений:
ln(X/n) ≈ N(ln p, (1 − p)/(np)).
При маленьком p производная 1/p велика, поэтому даже небольшие колебания доли сильнее отражаются на её логарифме.
Отношение шансов
Выражение X/(n − X) равно p̂/(1 − p̂). Для h(u) = u/(1 − u) имеем h′(u) = 1/(1 − u)². Поэтому:
X/(n − X) ≈ N(p/(1 − p), p/[n(1 − p)³]).
При p, близком к единице, приближение чувствительно к большим значениям производной и к редким наблюдениям на границе.
Что происходит при X = 0 и X = n
При любом конечном n событие X = 0 имеет положительную вероятность (1 − p)ⁿ; ln(X/n) тогда не является конечным вещественным числом. Событие X = n имеет вероятность pⁿ, и отношение X/(n − X) на нём не определено как конечное число.
Обе вероятности стремятся к нулю при фиксированном 0 < p < 1. Поэтому асимптотическое описание можно формализовать, задав произвольные конечные значения на этих редких граничных событиях: предельное распределение не изменится. Но такое соглашение не превращает исходные выражения в точно нормальные величины при конечном n.
Границы интерпретации
Это приближения распределений, а не утверждения о конечности точных ожиданий логарифма или отношения. При расширенной записи ln 0 = −∞ ожидание логарифма при конечном n не становится конечным только потому, что вероятность нуля мала.
На практике для центральной аппроксимации должны быть достаточно велики и np, и n(1 − p). Одно большое n без учёта близости p к границам не гарантирует удобного приближения.
Биномиальное и нормальное распределения · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 22.2 · CC BY 4.0. Условие адаптировано; решение и граничные оговорки редакции.