Связь двух величин с третьей не позволяет автоматически перенести её между ними. Это относится и к зависимости в целом, и к знаку ковариации.
X↔Y и Y↔Z не ⇒ X↔Z; Cov(X,Y)>0, Cov(Y,Z)>0 не ⇒ Cov(X,Z)>0
Два вопроса
Первый: X и Y зависимы, Y и Z зависимы. Обязаны ли X и Z быть зависимыми? Второй: Cov(X, Y) > 0 и Cov(Y, Z) > 0. Следует ли Cov(X, Z) > 0 или хотя бы Cov(X, Z) ≥ 0?
Источник отвечает отрицательно и даёт идею первого примера. Ниже обе конструкции выписаны явно и проверены.
Независимые крайние величины и общая сумма
Возьмём независимые U и V, каждая равновероятно принимает −1 и 1. Их средние нулевые, дисперсии единичные. Положим X = U, Z = V и Y = U + V.
По построению X и Z независимы. Но Cov(X, Y) = 1 и Cov(Y, Z) = 1, поэтому обе пары с Y зависимы: независимость при конечных вторых моментах дала бы нулевую ковариацию.
Можно проверить и по событиям: Y = 2 означает U = V = 1, так что знание Y меняет распределение каждого слагаемого. При этом сами слагаемые остаются независимыми без условия на сумму.
Две положительные ковариации и одна отрицательная
Используем те же независимые U, V, но теперь зададим:
X = U; Y = U + V; Z = −U + 2V.
По билинейности ковариации и Cov(U, V) = 0:
Cov(X, Y) = 1;
Cov(Y, Z) = −1 + 2 = 1;
Cov(X, Z) = −1.
Таким образом, обе предпосылки положительности выполнены, но ковариация крайних величин строго отрицательна. Это опровергает и сильный, и слабый предполагаемый вывод.
Почему пример согласован
Величины не заданы произвольной подозрительной таблицей ковариаций: все три явно построены на четырёх равновероятных исходах пары (U, V). Их дисперсии равны 1, 2 и 5. Поэтому конструкция автоматически является допустимой вероятностной моделью.
Знаки корреляций здесь совпадают со знаками ковариаций, поскольку все дисперсии положительны. Значит, аналогичный вывод о транзитивности положительной корреляции тоже неверен.
Общий вывод
Чтобы установить зависимость X и Z, нужна информация об их совместном распределении. Для знака ковариации нужны соответствующие смешанные моменты. Цепочка отдельных утверждений о парах X–Y и Y–Z этих данных не заменяет.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 16.11–16.12 · CC BY 4.0. Задачи объединены; контрпримеры и проверки развёрнуты.