Независимые равномерные точки после упорядочивания уже не независимы. Их координаты и промежутки между ними описывают одну геометрическую конструкцию, поэтому две связанные задачи удобно решать вместе.
Gᵢ=U(i)−U(i−1); ΣGᵢ=1
Условие и обозначения
Пусть X₁,…,Xₙ независимы и равномерны на [0; 1], n ≥ 1. Обозначим упорядоченные координаты U₁ ≤ … ≤ Uₙ. Они делят отрезок на m = n + 1 промежутков: L₁ = U₁, Lᵢ = Uᵢ − Ui−1 и Ln+1 = 1 − Uₙ.
Нужно найти отдельные и совместные плотности, функции распределения порядковых статистик, моменты и ковариации. Для совместных примеров берём n = 15. В источнике обе задачи оставлены без решения; ниже — редакционный разбор с явно заданной независимостью исходных точек.
Плотность k-й порядковой статистики
Чтобы Uₖ оказалась около u, нужны k − 1 точек слева, одна в малом интервале около u и n − k справа. Число распределений меток точек даёт:
fUₖ(u) = n! · uk−1(1 − u)n−k / [(k − 1)!(n − k)!], 0 < u < 1.
Это Beta(k, n + 1 − k). Вне [0; 1] плотность нулевая. Здесь плотность получена прямым подсчётом в малом интервале, без предварительного вычисления функции распределения.
Функция распределения через число точек
Событие Uₖ ≤ u означает, что хотя бы k исходных точек попали в [0; u]. Их количество имеет распределение Bin(n, u), поэтому для 0 ≤ u ≤ 1:
FUₖ(u) = Σj=kⁿ C(n, j)uʲ(1 − u)n−j.
Слева от нуля функция равна 0, справа от единицы — 1. Этот способ не использует интегрирование плотности.
Совместная плотность U₃ и U₇ при n = 15
Перед u находятся две точки, между u и v — три, после v — восемь. Ещё две точки задают сами порядковые статистики:
f(u, v) = 15! · u²(v − u)³(1 − v)⁸ / (2!3!8!), 0 < u < v < 1.
В остальных точках плотность нулевая. Ограничение u < v обязательно: третья координата не может превосходить седьмую.
Совместная функция распределения
Для 0 ≤ u ≤ v ≤ 1 пусть i — число точек в [0; u], j — в (u; v]. Нужны i ≥ 3 и i + j ≥ 7. Поэтому:
P(U₃ ≤ u, U₇ ≤ v) = Σi=315 Σj=max(0,7−i)15−i [15!/(i!j!(15−i−j)!)]uⁱ(v−u)ʲ(1−v)15−i−j.
Если u > v, достаточно события U₇ ≤ v: оно автоматически влечёт U₃ ≤ u. Тогда ответ равен FU₇(v). Вне единичного квадрата используются очевидные ограничения координат носителя: отрицательный порог делает соответствующее событие невозможным, порог не меньше 1 снимает соответствующее условие.
Почему промежутки одинаково распределены
Вектор положительных длин L₁,…,Lₘ равномерно распределён на симплексе с суммой 1. Это следует из постоянной совместной плотности упорядоченных равномерных точек и линейной замены координат с единичным якобианом. Область симметрична относительно перестановок длин, поэтому промежутки обменны.
Но они не независимы: их сумма всегда равна 1. Один особенно длинный промежуток ограничивает возможные длины остальных.
Моменты без вычисления плотности и функции распределения
Из суммы длин сразу E(Lᵢ) = 1/m. Для второго момента бросим ещё две независимые равномерные точки. Вероятность, что обе попадут в первый промежуток, условно равна L₁². Без условия это вероятность, что две новые точки окажутся первыми среди n + 2 точек: 1/C(n + 2, 2).
Следовательно, E(Lᵢ²) = 2/[m(m + 1)] и Var(Lᵢ) = (m − 1)/[m²(m + 1)]. Из Var(ΣLᵢ) = 0 и обменности получаем для i ≠ j:
Cov(Lᵢ, Lⱼ) = −1/[m²(m + 1)].
Поскольку Uₖ = L₁ + … + Lₖ, суммирование моментов даёт:
E(Uₖ) = k/m;
Var(Uₖ) = k(m − k)/[m²(m + 1)];
Cov(Uᵢ, Uⱼ) = i(m − j)/[m²(m + 1)] при i ≤ j.
В частности, Cov(U₃, U₇) = 27/4352 при n = 15. Это положительная ковариация координат, в отличие от отрицательной ковариации отдельных длин.
Проверка моментов через бета-плотность
Интегрируя u и u² с найденной плотностью Uₖ, получаем E(Uₖ) = k/m и E(Uₖ²) = k(k + 1)/[m(m + 1)]. Разность второго момента и квадрата среднего возвращает ту же формулу дисперсии. Используется интеграл ∫₀¹ uᵃ(1 − u)ᵇ du = a!b!/(a + b + 1)!.
Плотности отдельных промежутков
При фиксированной длине одного промежутка u оставшиеся m − 1 длин образуют симплекс масштаба 1 − u. Отношение объёмов и нормировка дают:
fLᵢ(u) = n(1 − u)n−1, 0 < u < 1.
Для n = 15 совместная плотность L₃, L₇ равна 15 · 14 · (1 − u − v)¹³ при u > 0, v > 0, u + v < 1. Их ковариация равна −1/4352.
Смешанный момент трёх промежутков
Для обменных равномерных промежутков подсчёт размещений дополнительных помеченных точек даёт общую формулу:
E(∏Lᵢaᵢ) = (m − 1)! · ∏aᵢ! / (m − 1 + Σaᵢ)!.
Её можно получить без плотности: условная вероятность заданного распределения дополнительных помеченных точек по промежуткам равна соответствующему произведению длин, а безусловная вычисляется подсчётом их порядков среди исходных точек.
При m = 16 и степенях 1, 2, 1 результат равен E(L₅L₇²L₉) = 2/(16 · 17 · 18 · 19) = 1/46512. Подставлять произведение отдельных средних нельзя: длины связаны фиксированной суммой.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 4.16–4.17 · CC BY 4.0. Условия объединены; решение редакции.