Математическое ожидание срока работы можно найти не только умножением значений на вероятности. Второй способ — площадь под графиком вероятности проработать дольше заданного времени. Для дискретного распределения эта площадь складывается из прямоугольников.
Условие
Время безотказной работы пепелаца T равно одному, двум, трём или четырём годам с вероятностями 0,1; 0,2; 0,3 и 0,4 соответственно. Постройте функцию дожития S(t) = P(T > t), найдите ожидаемый срок работы и свяжите математическое ожидание с функцией распределения.
В источнике приведены основные интегральные формулы. Таблица, расчёт и пояснения ниже дополняют их. Обозначение ожидаемого срока работы приведено к E(T): в одном пункте условия сборника вместо него напечатано E(S).
Функция дожития
Для t < 1 любая возможная длительность больше t, поэтому S(t) = 1. После первого года остаются исходы 2, 3 и 4; после второго — только 3 и 4; после третьего — только 4.
| Интервал | S(t) |
|---|---|
| t < 1 | 1 |
| 1 ≤ t < 2 | 0,9 |
| 2 ≤ t < 3 | 0,7 |
| 3 ≤ t < 4 | 0,4 |
| t ≥ 4 | 0 |
График — убывающая ступенчатая линия. Например, S(2) = 0,7, а не 0,9: срок ровно два года не удовлетворяет строгому неравенству T > 2.
Средний срок как площадь
Для математического ожидания учитываем площадь над неотрицательной полуосью. Четыре прямоугольника имеют ширину по одному году и высоты 1; 0,9; 0,7; 0,4:
E(T) = 1 + 0,9 + 0,7 + 0,4 = 3 года.
Проверка привычным способом:
E(T) = 1 · 0,1 + 2 · 0,2 + 3 · 0,3 + 4 · 0,4 = 3.
Это два представления одной величины: в первом суммируются ожидаемые вклады отдельных промежутков времени, во втором — возможные конечные сроки.
Формула для неотрицательной величины
Для произвольной неотрицательной X с функцией распределения F(x) = P(X ≤ x):
E(X) = ∫₀∞ P(X > t) dt = ∫₀∞ [1 − F(t)] dt.
Равенство допускает бесконечное ожидание. Идея такова: каждое значение X = x равно длине отрезка от 0 до x. Усреднение длин можно заменить суммированием вероятностей того, что соответствующий участок входит в этот отрезок.
Для целочисленной неотрицательной величины интеграл превращается в сумму E(X) = Σk=0∞ P(X > k). В нашей задаче ненулевых слагаемых только четыре.
Если возможны отрицательные значения
Для интегрируемой величины Y, у которой E(|Y|) конечно, положительные и отрицательные вклады учитываются отдельно:
E(Y) = ∫₀∞ [1 − FY(t)] dt − ∫−∞⁰ FY(t) dt.
Условие интегрируемости важно: нельзя трактовать неопределённую разность двух бесконечностей как конечное математическое ожидание. Для срока работы T отрицательная часть отсутствует, поэтому достаточно первого интеграла.
Связанные материалы
Математическое ожидание дискретной величины · Математика.
Борис Демешев и участники · probability_pro, задача 9.19 · CC BY 4.0. Адаптация; решение дополнено, обозначение уточнено.