При монотонном преобразовании достаточно одного обратного отображения. Если же возводится в квадрат отклонение от середины отрезка, в расчёт попадают две ветви. На этом различии построена задача.
Условие
Величина X имеет плотность fX(x) = 3x² на [0; 1] и нулевую плотность вне этого отрезка. Найдите функцию распределения X, а также функции распределения и плотности Y = ln X, Z = X² и W = (X − 0,5)².
Ниже дан аналитический разбор исходной задачи. Ответы для Y и Z совпадают со сборником; формулы для W пересчитаны редакцией, поскольку в зафиксированной версии обнаружена ошибка.
Исходная функция распределения
Интеграл плотности на всём носителе равен ∫₀¹ 3t² dt = 1. Внутри отрезка:
FX(x) = ∫₀ˣ 3t² dt = x³.
Вне носителя FX(x) = 0 при x < 0 и FX(x) = 1 при x > 1. Плотность возрастает от 0 до 3; значение плотности больше единицы само по себе допустимо — единице должен равняться её интеграл.
Логарифм Y = ln X
Поскольку 0 < X ≤ 1 с вероятностью 1, величина Y принимает значения не больше нуля. Неопределённость ln 0 не мешает: событие X = 0 имеет вероятность ноль.
Для y ≤ 0:
FY(y) = P(ln X ≤ y) = P(X ≤ eʸ) = e3y.
Для y > 0 функция равна 1. Дифференцирование даёт fY(y) = 3e3y при y < 0 и 0 при y > 0. Значение плотности в одной граничной точке можно выбрать произвольно.
Квадрат Z = X²
На [0; 1] возведение в квадрат монотонно. Поэтому при 0 ≤ z ≤ 1:
FZ(z) = P(X ≤ √z) = z3/2; fZ(z) = (3/2)√z.
Слева от нуля функция распределения равна 0, справа от единицы — 1; плотность вне (0; 1) равна нулю. Проверка: ∫₀¹ (3/2)√z dz = 1.
Квадрат отклонения W = (X − 0,5)²
Теперь носитель равен [0; 1/4]. Для 0 ≤ w ≤ 1/4 неравенство W ≤ w означает попадание X в симметричный относительно 0,5 отрезок:
0,5 − √w ≤ X ≤ 0,5 + √w.
Следовательно, нужно вычесть значения именно функции распределения X:
FW(w) = (0,5 + √w)³ − (0,5 − √w)³ = (3/2)√w + 2w3/2.
При w < 0 функция равна 0; при w > 1/4 — 1. Для 0 < w < 1/4 получаем:
fW(w) = 3/(4√w) + 3√w.
Плотность неограниченно возрастает при приближении к нулю, но интегрируема: ∫₀¹⸍⁴ fW(w) dw = 1. Само событие W = 0 по-прежнему имеет вероятность ноль.
Что исправлено в источнике
В исходном решении для W вместо кубической FX подставлены выражения из плотности 3x². В результате там получается FW(w) = 6√w. Эта формула не может быть функцией распределения: при w = 1/4 она даёт 3.
Исправленная формула даёт FW(1/4) = 3/4 + 1/4 = 1. Это редакционное исправление, а не заявление о том, что автор уже изменил репозиторий.
Связанные материалы
Теория вероятностей и математическая статистика · Математика.
Борис Демешев и участники · probability_pro, задача 9.3 · CC BY 4.0. Адаптация; ошибка для W исправлена редакцией.