Условие
X_t=f(t)cos(2021W_t). Найдите dX_t, ненулевую f для мартингальности и E cos(2021W_t).
Формула источника
По Ito:
dX=[f′+(2021²/2)f]cos(2021W)dt−2021f sin(2021W)dW.
Редакционное завершение ODE
Ключ говорит «убить dt-терм», но не выписывает f. Требуется
f′=−(2021²/2)f, поэтому f(t)=C e^{−2021²t/2}.
Мартингальность даёт E[X_t]=X_0=C. Отсюда
E cos(2021W_t)=e^{−2021²t/2}.
stochastic_pro, задача 220 · CC0 1.0. Ito-формула из ключа; f и ожидание завершены редакцией.