Экзаменационное условие
S0=0. Каждый час независимый шаг равен +1 с вероятностью 0,25, −1 с вероятностью 0,25 и 0 с вероятностью 0,5. T — первый момент |S_T|=4. Подберите α для S_t²+αt, β для exp(S_t+βt) и найдите E(T).
Ответ источника
α=−0,5; β=ln4−ln(e+e^{-1}+2); E(T)=32.
Квадратичный мартингал
У шага ξ Eξ=0, Eξ²=1/2. Поэтому E[S_{t+1}²|F_t]=S_t²+1/2. Для компенсации дрейфа нужен α=−1/2.
Экспоненциальный мартингал
Требование E[e^{ξ+β}]=1 даёт e^β[(e+e^{-1})/4+1/2]=1, откуда формула ключа.
Среднее время остановки
При остановке S_T²=16. Для Q_t=S_t²−t/2 и допустимом optional stopping E(Q_T)=E(Q_0)=0. Поэтому 16−E(T)/2=0 и E(T)=32.
Нулевые шаги удваивают характерное время по сравнению с блужданием, которое обязательно двигается каждый час. Источник разрешает использовать теорему Дуба без отдельной проверки технических условий.
Экзамен tssp_exams 2025–2026b · условие · ключ · CC0 1.0. Ответы сохранены; выводы добавлены.