Два базовых Wiener-мартингала: Wt и Wt²−t

Стандартный Wiener process Wt является мартингалом; после компенсации квадратичного роста Wt²−t тоже мартингал.

Ответ источника

W_t — мартингал.

Q_t=W_t²−t — мартингал.

Проверка первого

Для s≤t: W_t=W_s+(W_t−W_s), приращение независимо от F_s и имеет mean 0. Поэтому E(W_t|F_s)=W_s.

Проверка квадрата

E(W_t²|F_s)=W_s²+E[(W_t−W_s)²]=W_s²+(t−s). Значит,

E(W_t²−t|F_s)=W_s²−s=Q_s.

Компенсатор t точно вычитает накопленную quadratic variation стандартного Brownian motion.

stochastic_pro, задача 202 · CC0 1.0. Оба ответа источника сохранены.