Условие
X_t=∫₀ᵗW_u³dW_u+∫₀ᵗ(W_u³+3W_u u)du−tW_t³. Найдите dX_t и проверьте мартингальность.
Ответ источника
dX_t=(W_t³−3tW_t²)dW_t.
Следовательно,
X_t=X_0+∫₀ᵗ(W_u³−3uW_u²)dW_u
и процесс является мартингалом при стандартных условиях интегрируемости.
Почему drift исчезает
По Ito d(W_t³)=3W_t²dW_t+3W_tdt. Для d(tW_t³) появляется W_t³dt+t[3W_t²dW_t+3W_tdt], и именно эти dt-слагаемые сокращают обычный интеграл в определении X.
stochastic_pro, задача 215 · CC0 1.0. Short/full forms ключа сохранены.