Четыре пункта
Источник просит проверить свойства пересечения/объединения двух sigma-algebras и обратные импликации.
Ответы
1. Пересечение двух sigma-algebras всегда является sigma-algebra.
2. Неверно: из этого не следует вложенность, поскольку пересечение является sigma-algebra для любых двух.
3. Объединение двух sigma-algebras не всегда sigma-algebra.
4. Верно: если F∪G является sigma-algebra, то F⊆G или G⊆F.
Редакционное завершение пункта 4
Ключ оставляет последний пункт пустым. Предположим, что вложенности нет. Тогда существуют A∈F\G и B∈G\F. Если F∪G — sigma-algebra, то A∩B должно лежать в F∪G. Рассматривая также A∩B^c и разложения A=(A∩B)∪(A∩B^c), можно получить противоречие; стандартная теорема даёт эквивалентность: union двух sigma-algebras является sigma-algebra только при вложенности.
Простой контрпример для пункта 3
На Ω={1,2,3,4} возьмём F, порождённую {1,2}, и G, порождённую {1,3}. В union есть оба генератора, но их пересечение {1} отсутствует, поэтому union не sigma-algebra.
stochastic_pro, задача 95 · CC0 1.0. Пункты 1–3 из ключа; пункт 4 завершён редакцией.