Условие
Для фиксированного B⊆Ω рассмотрим H={A: A⊆B или B^c⊆A}. Является ли H sigma-algebra?
Ответ источника
Да.
Дополнения
Если A⊆B, то A^c⊇B^c, значит A^c попадает во вторую часть определения. Если B^c⊆A, то A^c⊆B, значит дополнение попадает в первую.
Счётные объединения
Если хотя бы одно A_n содержит B^c, то union также содержит B^c. Если ни одно не содержит B^c, то все A_n⊆B, и их union остаётся подмножеством B.
∅⊆B и B^c⊆Ω, поэтому ∅ и Ω также принадлежат H. Значит, выполнены все аксиомы sigma-algebra.
Это семейство можно понимать как sigma-algebra, в которой внутри B разрешено различать произвольные подмножества, а вне B информация появляется только «целиком вместе» с B^c.
stochastic_pro, задача 96 · CC0 1.0. Ответ источника сохранён; проверка аксиом добавлена.