σ(X), σ(|X|) и σ(X²) для X∈{1,2,−2}

Условие

X принимает 1, 2 и −2. Найдите σ(X), исследуйте зависимость от вероятностей, найдите σ(|X|) и сравните знания |X| и X².

Источник указывает: sigma-algebra не зависит от вероятностей; σ(|X|)={∅,Ω,{|X|=2},{X=1}}; σ(|X|)=σ(X²).

Ключ оставляет явный список σ(X) пустым. Поскольку три значения X различают три атома A₁={X=1}, A₂={X=2}, A₃={X=−2},

σ(X)={∅,A₁,A₂,A₃,A₁∪A₂,A₁∪A₃,A₂∪A₃,Ω}.

Изменение положительных вероятностей атомов не меняет генерируемую sigma-algebra: она определяется тем, какие исходы различает функция X.

|X| и X² принимают по два значения и оба объединяют +2 и −2 в один атом, поэтому дают одинаковую информацию.

stochastic_pro, задача 89 · CC0 1.0. Пункты 2–4 из ключа; пустой пункт 1 завершён редакцией.