MGF суммы независимых Poisson: снова Poisson

Научная визуализация MGF суммы независимых Poisson: снова Poisson

MGF суммы независимых Poisson: снова Poisson. Независимость превращает производящую функцию моментов суммы в произведение.

M_{X+Y}(t)=exp[(λ+μ)(eᵗ−1)]

Независимость превращает производящую функцию моментов суммы в произведение.

Задача

X∼Poisson(λ), Y∼Poisson(μ), независимы. Докажите распределение X+Y через MGF.

M_X(t)=exp[λ(e^t−1)].

M_{X+Y}(t)=M_X(t)M_Y(t)

=exp[(λ+μ)(e^t−1)].

Это MGF Poisson с параметром λ+μ, поэтому

X+Y∼Poisson(λ+μ).

Независимость нужна для factorization MGF. Сумма зависимых Poisson-marginals не обязана иметь Poisson law.

Редакционная практика по производящим функциям probability_pro · CC BY 4.0.