После полного оборота часовая стрелка показывает те же значения второй раз. Поэтому равномерный момент остановки не обязательно даёт равномерное показание на двенадцатичасовом циферблате.
Θ~U(0,2π); время на 12-часовом циферблате равномерно при равномерном моменте остановки
Условие и адаптация модели
В исходной шуточной задаче часы останавливаются в случайный момент через X часов после полуночи, где X равномерна на [0; 16]. Здесь сохраняется математическая модель без сюжетного предположения о причине остановки. Явно используем двенадцатичасовой циферблат: Y = X mod 12, 0 ≤ Y < 12; показание 12 обозначаем нулём.
Найдите P(Y < 2), плотность Y, E(Y), Var(Y) и Cov(X, Y). В источнике решения нет; ниже — редакционный расчёт.
Два прообраза и один прообраз
Для показаний 0 < y < 4 существуют два момента остановки: X = y и X = y + 12. Каждый даёт плотность 1/16. Для 4 < y < 12 возможен только X = y.
fY(y) = 1/8 при 0 < y < 4;
fY(y) = 1/16 при 4 < y < 12.
Вне [0; 12] плотность нулевая. Проверка: 4/8 + 8/16 = 1. Значения в отдельных граничных точках на вероятности не влияют.
Вероятность показания меньше двух
Это соответствует моментам X в [0; 2) или [12; 14). Их суммарная длина 4 часа из 16:
P(Y < 2) = 1/4.
Расчёт по плотности даёт тот же результат: ∫₀² (1/8) dy = 1/4.
Среднее и дисперсия
Интегрируем по двум участкам:
E(Y) = ∫₀⁴ y/8 dy + ∫₄¹² y/16 dy = 5.
E(Y²) = ∫₀⁴ y²/8 dy + ∫₄¹² y²/16 dy = 112/3.
Следовательно, Var(Y) = 112/3 − 25 = 37/3 в квадратных часах. Среднее показание не равно 6: ранняя часть циферблата наблюдается вдвое чаще поздней.
Ковариация времени и показания
На [0; 12] произведение XY равно X², а на [12; 16] — X(X − 12). Поэтому:
E(XY) = [∫₀¹² x² dx + ∫₁₂¹⁶ x(x − 12) dx]/16 = 130/3.
Так как E(X) = 8, получаем Cov(X, Y) = 130/3 − 8 · 5 = 10/3.
Y полностью определяется X, но преобразование не монотонно на всём отрезке: в момент 12 часов показание возвращается к нулю. Поэтому свойства линейного преобразования к этой паре не применяются.
Преобразование с несколькими прообразами · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 9.16 · CC BY 4.0. Сюжет адаптирован; период циферблата уточнён, решение редакции.