n=25, mean=170 см; ошибка +6 см ⇒ исправленное mean=170−6/25=169,76 см
Условие
Рост измерен у 25 человек. Среднее по записанным данным равно 160 см, медиана — 155 см. Рост Маши, равный 163 см, ошибочно записали как 173 см. Как изменятся характеристики после исправления? Что можно сказать, если истинный рост Маши на самом деле равен 153 см?
Исходный сборник даёт изменения обеих характеристик. Далее показано, почему для среднего ответ точный, а для медианы во втором случае определяется только диапазон.
Исправление 173 на 163
Сумма наблюдений уменьшается на 10 см, а объём выборки не меняется. Поэтому среднее уменьшается на 10/25 = 0,4 см: новое среднее равно 159,6 см.
В выборке из 25 человек медиана находится на 13-й позиции. И ошибочное значение 173, и исправленное 163 больше прежней медианы 155. Исправление происходит в верхней части ряда и не меняет его 13-й элемент. Медиана остаётся 155 см.
Исправление 173 на 153
Теперь сумма уменьшается на 20 см. Новое среднее равно 160 − 20/25 = 159,2 см.
Одно наблюдение переходит с верхней стороны медианы на нижнюю. Обозначим прежний 12-й элемент упорядоченного ряда через a. Он не превосходит 155. Новая 13-я позиция будет равна max(a, 153): в неё попадёт либо прежнее предпоследнее значение нижней половины, либо добавленные 153 см.
Следовательно, новая медиана лежит в [153; 155]. Она может уменьшиться на любое допустимое для конкретной выборки значение от 0 до 2 см. Без остальных наблюдений нельзя назвать одно точное число.
Чем различаются две характеристики
Изменение среднего определяется величиной поправки, делённой на число наблюдений. Изменение медианы зависит от положения исправленной записи в отсортированном ряду. Нельзя делить поправку на 25 и объявлять полученное число изменением медианы: это правило относится только к арифметическому среднему.
Б. Демешев и участники · statistics_pro, 1.2 · CC0 1.0. Ответы сохранены; порядковое объяснение добавлено.