Для пяти наблюдений x₍₁₎≤x₍₂₎≤x₍₃₎≤x₍₄₎≤x₍₅₎: min=x₍₁₎≤median=x₍₃₎≤max=x₍₅₎
Условие и модель
Исследователь измерил рост пяти случайно выбранных человек. Рост имеет непрерывное распределение. Какова вероятность, что истинная медиана находится между минимумом и максимумом этих наблюдений?
Используем модель независимых одинаково распределённых наблюдений. Именно независимость позволяет перемножать вероятности в решении источника. Для непрерывной функции распределения вероятность наблюдения по каждую сторону фиксированной истинной медианы равна 1/2, а вероятность точного совпадения с ней — нулю.
Когда интервал не накрывает медиану
Обозначим медиану через m. Она окажется вне интервала от выборочного минимума до максимума только в двух случаях: все пять наблюдений строго меньше m либо все пять строго больше m.
Первый случай имеет вероятность (1/2)⁵, второй — такую же. Случаи несовместны, поэтому вероятность непокрытия равна 2 · (1/2)⁵ = 1/16.
Искомая вероятность равна 1 − 1/16 = 15/16 = 0,9375. Это ответ исходного сборника.
Что здесь случайно
В принятой модели истинная медиана фиксирована. Случайны пять наблюдений и построенные по ним границы интервала. Вероятность 0,9375 относится к процедуре построения интервала в повторных выборках.
Она не означает, что после получения конкретных чисел медиана сама становится случайной с такой вероятностью нахождения внутри них. Для подобной интерпретации понадобилась бы отдельная модель неопределённости параметра.
Обобщение на n наблюдений
Редакционное дополнение: тот же расчёт даёт 1 − 2(1/2)ⁿ = 1 − 21−n. Чтобы этот интервал имел вероятность покрытия не ниже 0,95, достаточно n = 6: получаем 31/32 = 0,96875. При n = 5 нужного порога ещё нет.
Независимость и непрерывность существенны. При зависимых измерениях вероятность того, что вся выборка окажется с одной стороны, не обязана равняться степени 1/2. При атомах нужно отдельно учитывать вероятность точного попадания в медиану.
Б. Демешев и участники · statistics_pro, 1.7 · CC0 1.0. Ответ сохранён; предпосылки и обобщение добавлены.