Условие
Даны пять действительных чисел: x, 9, 5, 4, 7. При каких значениях x медиана этого набора равна его арифметическому среднему?
В задаче 1.1 сборника statistics_pro приведены три ответа. Ниже сохранены исходные числа и ответы, а разбор положения неизвестного дополнен пояснениями.
Среднее меняется непрерывно
Сумма четырёх известных чисел равна 25. Поэтому среднее всего набора равно (x + 25)/5. Медиана — третий элемент после упорядочивания пяти чисел. Её формула зависит от места x среди известных значений 4, 5, 7 и 9.
Три случая для медианы
При x ≤ 5 третьим элементом остаётся 5. Уравнение (x + 25)/5 = 5 даёт x = 0. Оно удовлетворяет условию выбранного случая.
При 5 ≤ x ≤ 7 третьим элементом является само x. Из (x + 25)/5 = x получаем 25 = 4x, то есть x = 25/4 = 6,25. Это значение действительно лежит между 5 и 7.
При x ≥ 7 медиана равна 7. Уравнение (x + 25)/5 = 7 даёт x = 10, что также согласуется с диапазоном.
Ответ и проверка
Все решения: x = 0, x = 6,25 и x = 10. Соответствующие средние и медианы равны 5, 6,25 и 7.
Границы x = 5 и x = 7 можно включить сразу в два соседних случая: формулы медианы на границах совпадают. Новых решений при этом не возникает. Проверять принадлежность найденного корня своему диапазону обязательно: кусочное уравнение без такой проверки может дать посторонний ответ.
Б. Демешев и участники · statistics_pro, 1.1 · CC0 1.0. Ответы источника сохранены; объяснение развёрнуто.