Задание
Покажите, что K(x,z)=(xᵀz)² является ядром для двумерных x=(x₁,x₂), z=(z₁,z₂), построив явное отображение признаков.
Раскрытие квадрата
(x₁z₁+x₂z₂)²=x₁²z₁²+2x₁x₂z₁z₂+x₂²z₂².
Feature map
Выберите
φ(x)=(x₁², √2 x₁x₂, x₂²).
Тогда
φ(x)ᵀφ(z)=x₁²z₁²+2x₁x₂z₁z₂+x₂²z₂²=(xᵀz)².
Зачем √2
Средний моном x₁x₂ возникает в биномиальном раскрытии с коэффициентом 2. Размещение √2 в каждой feature-координате даёт произведение 2.
Отображение не единственно: любое ортогональное преобразование φ сохраняет скалярные произведения и задаёт то же ядро.
Борис Демешев и участники · mlearn_pro, задача 57 · CC BY 4.0. Конструкция источника сохранена.