Условие
Для двух объектов A,B известны AᵀB=3, ||A||²=3, ||B||²=5. Сравните длины образов и косинус угла для линейного ядра K(a,b)=aᵀb и гауссова K(a,b)=exp(−||a−b||²).
Линейное ядро
Его естественное отображение — тождественное. Поэтому ||φ(A)||=√3, ||φ(B)||=√5,
cos angle = K(A,B)/√[K(A,A)K(B,B)] = 3/√15 = √(3/5).
Гауссово ядро
K(A,A)=K(B,B)=1, поэтому оба feature-вектора имеют длину 1. Квадрат расстояния исходных объектов:
||A−B||²=3+5−2·3=2.
Следовательно, cos angle=K(A,B)=e^{-2}.
Расстояние в feature space
Дополнительно ||φ(A)−φ(B)||²=1+1−2e^{-2}=2(1−e^{-2}). Гауссово ядро переводит все объекты на единичную сферу бесконечномерного пространства, а близость кодирует их скалярным произведением.
Борис Демешев и участники · mlearn_pro, задача 54 · CC BY 4.0. Ответы ключа сохранены; feature-space distance дополнена.