d(x,Π)=|5x₁+6x₂−7x₃+10|/√110
Условие источника
Плоскость в R³ задана 5x₁+6x₂−7x₃+10=0. Точки A=(2,1,4), B=(4,0,4). Найдите нормаль, проверьте пересечение отрезка AB с плоскостью, длину AB, отношение расстояний точек до плоскости и расстояние от A.
Нормаль и стороны плоскости
Нормальный вектор: n=(5,6,−7).
Подстановка A даёт −2, B — +2. Непрерывная линейная функция меняет знак вдоль отрезка, следовательно, AB пересекает плоскость.
Длина отрезка
B−A=(2,−1,0), поэтому |AB|=√(4+1)=√5.
Расстояния
Расстояние от x до плоскости ax₁+bx₂+cx₃+d=0 равно |ax₁+bx₂+cx₃+d|/√(a²+b²+c²).
У A и B модуль числителя одинаков и равен 2, поэтому расстояния равны. Норма нормали √(25+36+49)=√110. Значит,
d(A,Π)=d(B,Π)=2/√110≈0,190693.
Исправление ключа
В исходном решении последняя строка содержит 2/√10. Это арифметическая опечатка: сумма квадратов коэффициентов равна 110. Остальные пункты ключа согласованы с условием.
Борис Демешев и участники · mlearn_pro, задача 11 · CC BY 4.0. Ошибка знаменателя исправлена явно.