Колония амёб: вероятность вымирания и число поколений

Даже если каждая отдельная амёба может погибнуть, вся колония способна продолжаться бесконечно с положительной вероятностью. Для расчёта удобно следить за вероятностью вымирания не позже заданного поколения.

Научная визуализацияРекурсия вымирания ветвящегося процесса

Вероятность вымирания к поколению g монотонно приближается к 1/3, оставляя вероятность бесконечного продолжения 2/3.

ƒG(s)=1/4+(3/4)s²; q₍g+1₎=G(qg), q₀=0; P(extinction)=1/3; P(X=∞)=2/3

Условие и счёт поколений

Сначала есть одна амёба. Каждая амёба независимо от остальных делится на две с вероятностью 3/4 либо погибает без потомства с вероятностью 1/4. X — число поколений до исчезновения колонии. Начальная амёба считается первым поколением: если она сразу погибла, X = 1.

Найдите P(X = 2), P(X = 3) и P(X = ∞). Независимость решений разных амёб и поколений — используемая вероятностная модель.

Рекурсия для вымирания

Пусть q_g = P(X ≤ g), q₀ = 0. Колония исчезнет за g + 1 поколений, если первая амёба погибнет сразу либо разделится и обе дочерние линии исчезнут за оставшиеся g поколений:

q_g+1 = 1/4 + (3/4)q_g².

Получаем q₁ = 1/4 и q₂ = 19/64. Поэтому P(X = 2) = q₂ − q₁ = 3/64.

Для третьего поколения q₃ = 1/4 + (3/4)(19/64)² = 5179/16384. Вычитая q₂, находим:

P(X = 3) = 315/16384 ≈ 0,0192261.

Проверка третьего поколения по ветвям

После первого деления возможны два типа подходящих сценариев. Либо делится ровно одна из двух дочерних амёб, а её дети погибают; либо делятся обе дочерние амёбы и погибают все четыре внучки. В первом случае есть два выбора дочерней амёбы:

P(X = 3) = (3/4)[2 · (3/4)(1/4)(1/4)² + (3/4)²(1/4)⁴].

В исходной записи первого слагаемого пропущен множитель 2. Здесь эта ошибка исправлена; рекурсия даёт независимую проверку результата.

Бесконечное продолжение

Предельная вероятность вымирания q удовлетворяет q = 1/4 + 3q²/4. Корни — 1/3 и 1. Нужен меньший корень: рекурсия начинается с q₀ = 0, возрастает и остаётся не выше 1/3.

P(колония когда-либо вымрет) = 1/3;
P(X = ∞) = 2/3.

Последний ответ совпадает с источником. Выбрать корень 1 только потому, что он является вероятностью, нельзя: уравнение фиксированной точки само по себе не различает два решения.

Эксперимент, который может не завершиться · Математика.

Б. Демешев и участники · probability_pro, 2.8 · CC BY 4.0. Адаптация; расчёт третьего поколения исправлен.