Σûᵢ=0; Σŷᵢûᵢ=0 ⇒ прогнозы 1,4,7
Условие
Феофан оценил парную регрессию по трём наблюдениям и забыл часть результатов. Фактические значения y равны 0,6,6. Первый прогноз равен 1, второй и третий неизвестны, причём третий больше второго. Восстановите пропуски.
Решение источника
Обозначим прогнозы a и b. Для МНК с константой остатки ортогональны константе и вектору прогнозов:
−1+(6−a)+(6−b)=0;
−1+(6−a)a+(6−b)b=0.
Источник получает a=4, b=7.
Редакционная проверка
Первое уравнение даёт a+b=11. Из второго a²+b²=6(a+b)−1=65. Тогда 2ab=(a+b)²−(a²+b²)=121−65=56, то есть ab=28. Числа a,b являются корнями t²−11t+28=0: это 4 и 7. Условие b>a фиксирует порядок.
Итоговые остатки равны −1,2,−1. Их сумма 0, а произведение с прогнозами даёт −1·1+2·4−1·7=0. Обе проверки выполняются.
Почему нужны две ортогональности
Одной суммы остатков недостаточно: она задаёт только a+b=11 и оставляет бесконечно много вариантов. Второе условие выражает геометрию МНК, а не произвольное дополнительное допущение. Вектор прогнозов лежит в пространстве регрессоров, которому ортогональны остатки.
Присутствие константы существенно. Для модели без неё равенство сумм фактических и прогнозных y в общем случае не гарантируется. В разборе явно используется стандартная парная модель со свободным членом.
Борис Демешев и участники · Исходное задание и решение · CC BY 4.0. Система источника сохранена; расчёт развёрнут.